橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),為F1（-c,0）,F2（c,0）,M是橢圓上一點(diǎn),滿足向量F1M*向量F2M=0

橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),為F1（-c,0）,F2（c,0）,M是橢圓上一點(diǎn),滿足向量F1M*向量F2M=0
(1)求離心率e的取值范圍.（2)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí),點(diǎn)N（0,3）到橢圓的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5根號(hào)2,求此時(shí)橢圓方程.

數(shù)學(xué)人氣：122 ℃時(shí)間：2019-08-22 11:15:03

優(yōu)質(zhì)解答

答案為：√2/2 =（1）
F1M*F2M=0,說(shuō)明向量F1M⊥F2M,則
F1M＾2＋F2M＾2＝4c^2
設(shè)點(diǎn)為M（x,y)則
(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=4c^2
即x^2+y^2=c^2
又點(diǎn)在橢圓上故：
x^2/a^2+y^2/b^2=1,b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
兩式聯(lián)立,消去y:
b^2x^2+a^2(c^2-x^2)=a^2b^2
整理得：
c^2x^2=a^2(c^2-b^2)
x^2=a^2(c^2-b^2)/c^2=a^2(2c^2-a^2)/c^2
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,所以0≤|x|≤a,
即0≤x^2≤a^2.
∴0≤a^2(2c^2-a^2)/c^2≤a^2
即2c^2-a^2 ≥0,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
2c^2 ≥a^2,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
e^2≥1/2,且2-1/e^2≤1
1/2≤e^2≤1
所以√2/2≤e<1.
【另法】
可以設(shè)橢圓上的一點(diǎn)M為(x,y),又因M在橢圓上,所以可以把y換成含有x的代數(shù)式,即M(x,[b√(a^2-x^2)]/a).
所以F1M=(x+c,[b√(a^2-x^2)]/a);
MF2=(c-x,-[b√(a^2-x^2)]/a);
又因根據(jù)條件：F1M*F2M=0 .
所以即：（x+c）*（c-x）-{[b√(a^2-x^2)]/a*[b√(a^2-x^2)]/a}=0(向量知識(shí))
劃簡(jiǎn)出來(lái)得：x^2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)
又因M在橢圓上,所以x有取值范圍,即-a=所以0=所以即：0=<(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=先算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)>=0
在劃簡(jiǎn)過(guò)程中把b^2換成a^2-c^2(橢圓性質(zhì)）
最后得：2c^2-a^2>=0
同除a^2,為2*(c/a)^2-1>=0
即e^2>=1/2,所以e>=√2/2,e<=-√2/2(舍去）
再算(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=同樣在劃簡(jiǎn)過(guò)程中把b^2換成a^2-c^2
最后算的e^2<=1 ,即0所以e的范圍取交集,即√2/2 =（2）
當(dāng)離心率取得最小值時(shí)即 e=√2/2 .
又因在橢圓中b^2/a^2=1-e^2(你自己推一下）
所以帶入e^2的值,得到:b^2=1/2*a^2
所以可設(shè)橢圓方程為:x^2/a^2+y^2/(1/2*a^2)=1
設(shè)P(x,y)為橢圓上的一點(diǎn),
點(diǎn)N（0,3）到P的距離為：S=√x^2+(y-3)^2
把y^2用x^2代替(用你設(shè)的橢圓方程推出來(lái)) ,
即:S=√a^2-2y^2+(y-3)^2
配方,最后得S=√-(y+3)^2+a^2+18
所以當(dāng)y=-3時(shí)有最大值
即5√2=√a^2+18
所以a^2=32 ,b^2=16
所以橢圓方程為x^2/32+y^2/16=1.

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