首先證明在邊數(shù)相等的情況下正多邊形的面積最大——比如若兩相鄰的邊不等,容易證明在保持長(zhǎng)度和不變的情況下一旦將它們換成相等時(shí),比原面積要大,所以面積最大的是正多邊形.然后證明邊數(shù)約大面積越大,方法是將正多邊形像切蛋糕那樣從中心點(diǎn)切成一片一片三角形,每一個(gè)三角形的面積等于邊長(zhǎng)乘以中心到邊的距離除以2,于是整個(gè)多邊形的面積等于周長(zhǎng)乘以中心到邊的距離除以2,周長(zhǎng)一定時(shí),中心到邊的距離越長(zhǎng),面積越大.可證,邊長(zhǎng)越多時(shí)中心到邊的距離越大,因?yàn)橹行牡竭叺木嚯x為cot2PI/2N * C/2N,分別代入N和N'后相除比較大小即可,當(dāng)邊長(zhǎng)趨于無(wú)窮時(shí),中心到邊的距離趨近于中心到頂點(diǎn)的距離,這時(shí)候面積是最大的.