題目有點(diǎn)問(wèn)題,應(yīng)該是A,B為子群,求證AB是子群的充要條件是AB＝BA.
證：若AB是子群,則對(duì)于任意A的元素a及B的元素b,ab的逆b^(-1)*a^(-1)應(yīng)在A(yíng)B中,
反之亦然.
注意A^(-1)=A,B^(-1)=B,所以上面結(jié)果得到AB＝BA.
反之,若AB＝BA,則對(duì)于A(yíng)B中的任意元素ab,其逆b^(-1)*a^(-1)在BA中,從而也在A(yíng)B中,
即AB的每個(gè)元素的逆元仍在A(yíng)B中；又,任取AB的兩個(gè)元素a1b1,a2b2,它們的積為：
a1(b1*a2)b2,由于中間(b1*a2)屬于BA,從而屬于A(yíng)B,可寫(xiě)成a3b3的形式,
所以a1(b1*a2)b2＝a1(a3b3)b2＝(a1a3)*(b3b2),屬于A(yíng)B,即AB關(guān)于乘法封閉,
所以AB是子群.
證畢!