（1）四邊形EGFH是平行四邊形．
理由是：∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)，
∴GF∥EH，GF=EH
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EGFH是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE與△DCE中，
∵

AB＝DC ∠A＝∠D AE＝DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE
∵G、H分別是BE、CE的中點(diǎn)，
∴EG=EH
又∵由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，
∴四邊形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，EF=

1

2

BC
證明：∵四邊形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G、H分別是BE、CE的中點(diǎn)，
∴根據(jù)中位線定理知道EB=EC，
∵F是BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．