一般地,人們會(huì)談?wù)撘粋€(gè)符號(hào)或一個(gè)概念,問它有什么幾何意義.但是,永遠(yuǎn)不會(huì)問它有什么代數(shù)意義.試問樓主,你所說的“代數(shù)意義”指的是什么?把“代數(shù)意義”當(dāng)成一個(gè)“能指”,做這件事情本身就是沒有意義的（因?yàn)槟銦o法找到這個(gè)概念的“能指”所對(duì)應(yīng)的“所指”）.至于前一個(gè)問題我來回答一下：我想你應(yīng)該是打錯(cuò)字了,是“導(dǎo)數(shù)”而不是“倒數(shù)”.
一元函數(shù)f的在定義域中一個(gè)元素x_1之處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)f所對(duì)應(yīng)的圖像Graph（f）(它是一條曲線)在點(diǎn)（x_1,f(x_1)）∈Graph（f）處的切線的斜率.微分是一個(gè)無窮小量而不是數(shù),一般情況下,它是沒有幾何意義的-----除非把它推廣為“函數(shù)的外微分形式”（exterior differential forms of a function）；推廣后的外微分是從定義域的切向量叢到實(shí)數(shù)集的切向量叢的一個(gè)逐纖維地（fiberwisely）為線性同態(tài)的映射.不過你可以把普通的微分理解為一個(gè)無窮序列,序列的每一個(gè)坐標(biāo)是一個(gè)有向線段.比如dx可以理解為在點(diǎn)x處（先把這個(gè)x固定）向右發(fā)出的一組有向線段,每個(gè)有向線段的起點(diǎn)為點(diǎn)x,終點(diǎn)是變化的,但這個(gè)變化是“有方向的”,也就是說作為有向線段的第二個(gè)坐標(biāo)的“模長(zhǎng)”要比第一個(gè)坐標(biāo)的“模長(zhǎng)”要小一半,第三個(gè)的模長(zhǎng)又比第二個(gè)的小了一半,以此類推.這個(gè)無限序列的極限是一個(gè)零向量（也就是x自己指向自己的這個(gè)向量）.要注意這些有向線段可以被看成是向量,但它們都不是“自由向量”（高中教材：自由向量指的是起點(diǎn)可以被任意移動(dòng)（平移）的向量）,因?yàn)樗鼈兊钠瘘c(diǎn)都被固定死了,就是x.
至于在閉區(qū)間【a,b】上對(duì)一個(gè)函數(shù)求定積分,它的幾何意義如下：當(dāng)函數(shù)圖象在坐標(biāo)軸x軸上方時(shí),定積分作為一個(gè)實(shí)數(shù),就等于曲線自己、x軸、直線x=a,x=b圍成的曲邊（因?yàn)轫斶吺菑澢模﹫D形的面積.如果函數(shù)圖象在x軸下方,定積分的值就等于曲邊圖形的面積的相反數(shù).如果函數(shù)圖象一部分在x軸上方,一部分在下方,則用全部都在x軸上方的圖形的總面積減去在下方的所有圖形的總面積,這個(gè)數(shù)值就是定積分的值.
而f的不定積分呢,對(duì)于初學(xué)者來說,稍微有點(diǎn)難以理解,是求得一個(gè)函數(shù)g（如果存在的話）,使得下面的條件被滿足：g的圖象在（x_0,g（x_0））處的切線斜率k_0作為一個(gè)實(shí)數(shù),恰好等于函數(shù)f在x_0處的函數(shù)值.僅僅在一個(gè)x_0處滿足這個(gè)條件還不夠,x_0必須取遍定義域里所有的元素才行.如果在每一個(gè)元素之處都滿足“斜率條件”的話,那么我們就是g是f的一個(gè)原函數(shù).顯然,f的原函數(shù)是不唯一的.找到了f的某個(gè)原函數(shù)后,給這個(gè)原函數(shù)加上任意一個(gè)常函數(shù),這個(gè)和函數(shù)也是f的原函數(shù).