1、正三棱錐的外接球半徑求法：
設(shè)A－BCD是正三棱錐,側(cè)棱長為a,底面邊長為b,
則外接球的球心一定在這個(gè)三棱錐的高上.設(shè)高為AM,連接DM交BC于E,連接AE,然后在面ADE內(nèi)做側(cè)棱AD的垂直平分線交三棱錐的高AM于O,則0就是外接球的球心,AO,DO是外接球的半徑.
（當(dāng)三棱錐的側(cè)棱與它的對面所成的線面角小于90度時(shí),即角DAE小于90度時(shí),球心在棱錐的內(nèi)部；當(dāng)線面角等于90度時(shí),球心恰好在底面正三角形的中心M上；當(dāng)線面角大于90度時(shí),球心在棱錐的外部,在棱錐高AM的延長線.下面我給出的解法是第一種情況,球心在棱錐的內(nèi)部.另兩種情況你自己可以照理推出.）
設(shè)AO＝DO＝R
則,DM＝2/3DE＝2/3*2分之根號3倍的b=b/根號3
AM＝根號（a^2-b^2/3),
OM=AM-A0=根號（a^2-b^2/3)-R
由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得,
R＝根號3倍的a^2÷2倍的根號（3a^2-b^2)
2、內(nèi)接球半徑
同樣是這個(gè)三棱錐.內(nèi)接球的球心也一定在這個(gè)三棱錐的高上.設(shè)高為AM,連接DM交BC于E,連接AE,然后在面ADE內(nèi)做角AED的平分線交三棱錐的高AM于O,做OF垂直于AE,則0就是內(nèi)接球的球心,OM＝OF＝r
AE=根號（a^2-b^2/4)
FE=ME=1/3AM=6分之根號3倍的b,
AF=AE-FE=根號（a^2-b^2/4)-6分之根號3倍的b
AO=AM-r=根號（a^2-b^2/3)-r
由AO＾2＝OF＾2＋AF＾2得
r=[根號3倍b^2+3b倍根號（4a^2-b^2)]/12倍根號（3a^2-b＾2）