微分方程y″+y=x+cosx對應(yīng)的齊次微分方程為y''+y=0
特征方程為t²+1=0
解得t₁=i，t₂=-i
故齊次微分方程對應(yīng)的通解y=C₁cosx+C₂sinx
因此，微分方程y″+y=x+cosx對應(yīng)的非齊次微分方程的特解可設(shè)為y^*=ax+b+x（csinx+dcosx）
y^*'=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx
y^*''=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx
將y^*，y^*'，y^*''代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到：
ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx
則有：

a=1 b=0 2c=1 -2d=0

即

a=1 b=0 c= 1 2 d=0

所以，非齊次微分方程的特解為y*=x+

1

2

xsinx
由于非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的通解+非齊次微分方程的特解
所以，微分方程y″+y=x+cosx的通解為y+y*=C1cosx+C2sinx+x+

1

2

xsinx．