存在N>0使得
當n>N時有l(wèi)n(1+ε)>(lnn)/n (因為(lnn)/n單調遞減)
那么
1+ε>n^(1/n)
又1-ε<1
1-ε
那么對于任意ε>0,存在N>0,使得當n>N時
|n^(1/n)-1|<ε
故lim (n->∞) n^(1/n)=1
注：這個N的值其實是反著求出來的.......在高數(shù)知識僅僅知道數(shù)列極限的情況下，如何證明(lnn)/n單調遞減？這好像是一個循環(huán)悖論了極限也僅僅知道柯西定義。不能用還沒有證明的東西吧？極限是基礎，有了極限才能用導數(shù)，有了導數(shù)才能證明(lnn)/n單調遞減（或者還有其他方法證明？）求證!那么這樣吧(1+ε)^n=1+n*ε+n(n-1)*ε^2/2+...>n(n-1)*ε^2/2當n>2/ε^2+1時有(1+ε)^n=1+n*ε+n(n-1)*ε^2/2+...>n(n-1)*ε^2/2>n那么對于任意ε>0取N>2/ε^2+1,有當n>N時(1+ε)^n>n即1+ε>n^(1/n)又1-ε<1