分析：要求b(n)肯定先要求出a(n）；a(n）好求!只是你列的第二個(gè)式子應(yīng)該有問(wèn)題,參照你的原式我發(fā)現(xiàn)b₁居然求出了是一個(gè)對(duì)數(shù),這在高中數(shù)學(xué)中是很少見(jiàn)的!注意：考試并不是要難倒誰(shuí),所以當(dāng)你求出一個(gè)很不理想的數(shù)字時(shí)就應(yīng)該想到可能有問(wèn)題了,多數(shù)情況是你自己錯(cuò)了很少會(huì)是題目錯(cuò)誤!我認(rèn)為你的第二個(gè)式子應(yīng)該是4^[b(1) - 1]*4^[b(2) - 1]*...*4^[b(n)-1])-n] = [a(n)+1];
a(n+2)=3a(n+1)-2a(n)
即 a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-a(n)],
[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=2;
可以令c(n)=a(n+1）-a(n);c₁=a₂-a₁=3-1=2;
顯然c(n)是一個(gè)以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
則 c(n)=2*(2^(n-1))=2^n
所以 a(n+1)-a(n)=2^n;
則有 a(n)-a(n-1)=2^(n-1)………………第一項(xiàng)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)………………第二項(xiàng)
a(n-2)-a(n-3)=2^(n-3)………………第三項(xiàng)
……
……
……
……
a₂-a₁=2 ……………………第n-1項(xiàng)
等式左邊加左邊,右邊加右邊,消去以后得到：
a(n)-a₁=2^(n-1)+2^(n-2)+…………+2
即a(n)-1=-2(1-2^(n-1））
a(n)=2^n-1;
再來(lái)求b(n）；
4^(b₁-1)*4^(b₂-1)*…………*4^[b(n)-1]=[a(n)+1]^b(n)
則4^[b₁+b₂+…………+b(n)-n]=2^[n*b(n)];令n=1可得b₁=2;
有2[b₁+b₂+…………+b(n)-n]=n*b(n)…………一式
2[b₁+b₂+…………+b(n-1)-(n-1)]=2^[(n-1)*b(n-1)]…………二式
用一式減去二式得到：
2[b(n)-1]=n*b(n)-(n-1)*b(n-1)
(n-1)*b(n-1）=(n-2)*b(n)+2 ;這里b>=2;
式子兩邊同時(shí)除以（n-1)*(n-2)得到：
b(n-1)/(n-2)=b(n)/(n-1)+2/(n-2)-2/(n-1);
b(n-1)/(n-2)-b(n)/(n-1)=2/(n-2)-2/(n-1);…………第一項(xiàng)
b(n-2)/（n-3)-b(n-1)/(n-2)=2/(n-3)-2/(n-2);…………第二項(xiàng)
…………
…………
…………
…………
b₂/1-b₃/2=2/1-1;………………第(n-2)項(xiàng)；此時(shí)n取到了3.
同樣等式左右相加消去得到；
b(n)=(n-1)*b₂+2-2*(n-1)=n*b₂-b₂-2*n+4;
則b(n+1）=n*b₂-2*n+2;
用b(n+1)-b(n)=b₂-2;
無(wú)論b₂取何值,(b₂-2)均為一常量!故得證!
考個(gè)重點(diǎn)大學(xué)!開(kāi)心快樂(lè)!