(1)
化簡(jiǎn)(a+b)／(cosA+cosB)=c／cosC
(a+b)cosC=c(cosA+cosB)
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
(sinA+sinB)cosC=sinC(cosA+cosB)
sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCcosB
sinAcosC-sinCcosA=sinCcosB-sinBcosC
sin(A-C)=sin(C-B)
此時(shí)可能有A-C=C-B、A-C=180°-(C-B)兩種情況
(A-C)=180°-(C-B)時(shí)化簡(jiǎn)得A-B=180°,這很顯然是荒謬的
所以只能有A-C=C-B
所以角A,C,B成等差數(shù)列
(2)
化簡(jiǎn)cos(B+C)＋√3sinA
cos(B+C)＋√3sinA
=cos(180°-A)+√3sinA
=√3sinA-cosA
=2*[(√3/2)sinA-(1/2)cosA]
=2*(cos30°sinA-sin30°cosA)
=2*sin(A-30°)
由(1)問(wèn)A-C=C-B
并且A+B+C=180°
所以C=60°
A是△ABC的最大內(nèi)角,△ABC為銳角三角形
則60°≤A＜90°
則30°≤A-30°＜60°
則1≤2*sin(A-30°)＜√3
(3)
S△ABC＝(1/2)absinC=√3
由(2)問(wèn)C=60°
則ab=4
由余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-4≥2ab-4=4
則c²≥4
c≥2
僅當(dāng)a=b時(shí)c取最小值2
又a+b≥2√(ab)=2√4=4
僅當(dāng)a=b時(shí)a+b取最小值4
∵a+b與c都是在a=b時(shí)取最小值,所以同時(shí)取最小值時(shí)不矛盾
∴a+b+c≥4+2=6
△ABC的周長(zhǎng)最小值為6