1、
f(1 * 1) = f(1) + f(1),得 f(1) = 0
又有
f(-1 * -1) = f(-1) + f(-1)
0 = 2f(-1)
f(-1) = 0
可得
f(-1 * x) = f(-1) + f(x)
f(-x) = f(x)
所以f(x)是偶函數(shù)
2、
設b > 1,a > 0,得 ab > a,據題目條件可得f(b) > 0
f(ab) = f(a) + f(b)
f(ab) > f(a)
由ab > a可得f(ab) > f(a),所以f(x)在(0,正無窮)單調遞增
3、
f(2x^2 - 1) < 2
f(2x^2 - 1) < 1 + 1
因為 f(2) = 1(題目條件),得
f(2x^2 - 1) < f(2) + f(2)
f(2x^2 - 1) < f(2 * 2)
f(2x^2 - 1) < f(4)
因為f(x)是偶函數(shù),f(x)在(0,正無窮)單調遞增,
所以f(x)在(負無窮,0)單調遞減
當2x^2 - 1 > 0時,即 x > (根號2)/2 或 x < -(根號2)/2,時
2x^2 - 1 < 4
2x^2 < 3
x^2 < 3/2
得 -(根號6)/2 < x < -(根號2)/2 或 (根號2)/2 < x < (根號6)/2
當2x^2 - 1 < 0時,即 -(根號2)/2 < x < (根號2)/2 ,時
2x^2 - 1 > -4
2x^2 > -3 （恒成立）
得 -(根號2)/2 < x < (根號2)/2
綜上所述,此不等式的解集是
-(根號6)/2 < x < -(根號2)/2 或 -(根號2)/2 < x < (根號2)/2 或 (根號2)/2 < x < (根號6)/2