已知函數(shù)f(x)=ax-Inx,若f(x)>1在區(qū)間（1,正無(wú)窮）內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)a的范圍為

數(shù)學(xué)人氣：327 ℃時(shí)間：2019-08-19 08:28:32

優(yōu)質(zhì)解答

答：a>=1
請(qǐng)看分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立,
分離常數(shù)a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立,
該問題等價(jià)于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
補(bǔ)充定義h(1)=1,則易知h(x)在x=1處連續(xù).求導(dǎo)易得h'(x)=-lnx/x^21),得h(x)在(1,+oo)遞減,
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)maxh(x),得a的取值范圍：a>=1.此時(shí)命題就恒成立了
（需要細(xì)細(xì)理解取等號(hào).）