解析幾何：已知橢圓：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（-c,0）、F2（c,0）,離心率為1/2,橢圓上的動點P到直線l：x=a^2/c的最小距離為2,延長F2P至Q使得|F2Q|=2a,線段F1Q上存在異于F1的點T滿足PT•TF1=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）求證：過直線l：x=a2/c
上任意一點必可以作兩條直線與T的軌跡C相切,并且過兩切點的直線經(jīng)過定點
(1)解析：∵橢圓：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）,焦點F1(-c,0)、F2(c,0),e=1/2,橢圓上的動點P到直線l：x=a^2/c的最小距離為2
∴a^2/c-a=2==>a^2-ac=2c==>a^2-a^2*e=2c==>a^2=4c==>a^2/c=4
∴a=2,c=1==>b^2=3
∴橢圓：x2/4+y2/3=1
(2)解析：延長F2P至Q使得|F2Q|=2a,線段F1Q上存在異于F1的點T滿足向量PT•TF1=0
∴PT⊥TF1,即PT⊥QF1
∵|PF1|+|PF2|=2a
∴|PQ|=|PF1|==>T為F1Q中點
設(shè)T(x,y),則Q(2x+1,2y)
|F2Q|=2a==>√[(2x+1-1)^2+4y^2]=2*2=4
(2x+1-1)^2+4y^2=16==>x^2+y^2=4
∴點T的軌跡C的方程為x^2+y^2=4
(3)證明：∵直線L：x=a^2/c=4,為橢圓一條準線
∵T的軌跡C為圓x^2+y^2=4,圓心（0,0）,半徑=2
顯然,過直線l：x=a2/c上任意一點必可以作兩條直線與T的軌跡C相切
取橢圓準線上一點E(4,0),過E作軌跡C二條切線,切點坐標為(x,y)
X^2+y^2+(x-4)+y^2=4^2==>-8x+16=8==>x=1
∴切點坐標為(1,√3),(1,-√3)
切點連線方程為x=1
取橢圓準線上一點F(4,4),過F作軌跡C二條切線,切點坐標為(1,√3),(1,-√3)
X^2+y^2+(x-4)+(y-4)^2=(4√2)^2==>x+y=1==>x=1-y
∴切點坐標為(1/2-√7/2,1/2+√7/2),(1/2+√7/2,1/2-√7/2)
K=√7/(-√7)=-1
切點連線方程為y-1/2-√7/2=-1(x-1/2+√7/2)==>x+y-1=0
二切點連線交于（0,1）
∴兩切點的直線經(jīng)過定點F2(0,1)