（Ⅰ）當(dāng)a＝

1

2

時，f′(x)＝

x?2

x2

（x＞0），
∴當(dāng)x∈[1，2]時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，e]時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在（2，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上有唯一極小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（2）=ln2-1．
又∵f（1）=0，f（e）=

2?e

e

＜0．
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（x）_max=f（1）=0．
綜上可知，函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2-1．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-

1

4

x，
∴g′（x）=

?ax2+4ax?4

4ax2

(a＞0)，
設(shè)h（x）=-ax²+4ax-4，由題意知，只需h（x）≥0在[1，e]上恒成立，
因為a＞0，h（x）圖象的對稱軸為x=2，
所以只需h（1）=3a-4≥0，所以a≥

4

3

．