將z改寫為z=2(x-2)^2-2y+1 得y=(x-2)^2+(1-z)/2
求z的范圍,也就是找出拋物線y=(x-2)^2在給定的橢圓范圍內(nèi)能夠平移的范圍,即(1-z)/2的范圍
從幾何圖像上不難得到(1-z)/2取最大值和最小值時,拋物線y=(x-2)^2+(1-z)/2與橢圓是相切的,而切點處斜率相等,所以下面利用一下導數(shù)
拋物線dy/dx=2(x-2) (1)
橢圓4x+2y*dy/dx=0 dy/dx=-2x/y=-2x/±√1-2x^2 (2)
聯(lián)立(1),(2) 得2(x-2)=-2x/±√1-2x^2
整理得x^4-4x^3+4x^2+2x-2=0
解得x1=0.6285,y1=0.4582時,z的最小值為3.8456
x2=-0.6838,y2=-0.2548時,z的最大值為15.91484和16應該是四舍五入后的結(jié)果，一元四次方程求根雖然很麻煩，但還是有解析解的 將x^4+bx^3+cx^2+dx+g=0轉(zhuǎn)為兩個二次方程求 x^2+(b+√(8y+b^2-4c))*x/2+(y+(by-d)/√(8y+b^2-4c))=0 x^2+(b-√(8y+b^2-4c))*x/2+(y-(by-d)/√(8y+b^2-4c))=0 求出的四個根就是原方程的解（本題包括兩個實根和兩個共軛復根） 其中y是三次方程8y^3-4cy^2+(2bd-8g)y+g(4c-b^2)-d^2=0的任一實根 也就是說一個一元四次方程要通過求解一個三次方程和兩個二次方程才能解決