5個數中任意三個數的和是3的倍數,則這5個數被3除的余數相同,可能余0、1、2,設余數為X.
因為 2011 / 3 = 670 …… 1
則有 5X | 3 = 2X | 3 = 1,X = 2
同法,
5個數中任意四個數的和是4的倍數,則這5個數被4除的余數相同,可能余0、1、2、3,設為Y.
因為 2011 / 4 = 502 …… 3
則有 5Y | 4 = Y | 4 = 3,Y = 3
因此這5個數都是被3除余2、被4除余3的數,最小是11.
令這5個數分別為：
12A+11、12B+11、12C+11、12D+11、12E+11
只需要
12A+11 + 12B+11 + 12C+11 + 12D+11 + 12E+11
= 12(A+B+C+D+E) + 55 = 2011 有解
即A+B+C+D+E = (2011 - 55)/12 = 163,顯然可行.
例如,A=30、B=31、C=32、D=33、E=37：
30*12 + 11 = 371
31*12 + 11 = 383
32*12 + 11 = 395
33*12 + 11 = 407
37*12 + 11 = 455
這5個數必滿足題意要求.