這個(gè)東西證明不大容易,簡(jiǎn)單說說吧：
有一種求圓周率的一種逼近方法,利用到歐拉級(jí)數(shù),相關(guān)知識(shí)自己查一下.
證法一：歐拉本人給出的
首先根據(jù)黎曼函數(shù)展開sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+.
然后利用sinx/x的零點(diǎn),容易知零點(diǎn)為nπ
所以sinx/x=(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)+.
=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2).(1-x^2/n^2π^2)
比較展開式和上式中x^2的系數(shù)得
-x^2(1+1/4+1/9+.1/n^2)/π^2=-x^2/3!
所以1+1/4+1/9+.1/n^2=π^2/6
證法二：高數(shù)課本上查一下
利用傅立葉級(jí)數(shù)做,展開f(x)=|x|,x屬于(-π,π)
證法三：利用黎曼zeta函數(shù)和伯努利數(shù)的關(guān)系
Zeta(k)=2^(2k-1)*B(k)*π^(2k)/(2k)!,其中B(1)=1/3
令k=1,得Zeta(2)=π^2/6