這道題主要是利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性.
令函數(shù)f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求導(dǎo)得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
討論:
(1)當(dāng)r>1時(shí),(1+x)^(r-1)>1,則f'(x)>0
因此f(x)在R上是單調(diào)遞增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!
(2)當(dāng)r0
因此f(x)在(0,正無(wú)窮大)上是單調(diào)遞增.
這樣在r=-1且x不等于0時(shí),f(x)最小值為f(0)=0
因此在r=-1且x不等于0時(shí),f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.
綜上所述:(1+x)^r>1+rx對(duì)于所有的r>1或r=-1且x不等于0成立.