伯努利不等式:(我編過一條百科)
如果用數(shù)學歸納法(n是不小于2的整數(shù))
設x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整數(shù),則(1+x)^n≥1+nx.
證明:
用數(shù)學歸納法:
當n=1,上個式子成立,
設對n-1,有:
(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
則
(1+x)^n
=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
>=1+nx
就是對一切的自然數(shù),當
x>=-1,有
(1+x)^n>=1+nx
但n可以推廣到實數(shù)冪形式:
(證明如下)
這道題主要是利用求導判斷單調性.
令函數(shù)f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求導得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
討論:
(1)當r>1時,(1+x)^(r-1)>1,則f'(x)>0
因此f(x)在R上是單調遞增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!
(2)當r0
因此f(x)在(0,正無窮大)上是單調遞增.
這樣在r=-1且x不等于0時,f(x)最小值為f(0)=0
因此在r=-1且x不等于0時,f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.
綜上所述:(1+x)^r>1+rx對于所有的r>1或r=-1且x不等于0成立.