本題少一個條件,f(x)與g(x)均恒正

右邊=∫[a,b]f²(x)dx∫[a,b]g²(x)dx
由于定積分可隨便換積分變量,將第二個積分變量換為y
=∫[a,b]f²(x)dx∫[a,b]g²(y)dy
=∫[a,b]∫[a,b] f²(x)g²(y) dxdy
（注：若開始將第一個積分變量換為y,可得右邊=∫[a,b]∫[a,b] f²(y)g²(x) dxdy）
=(1/2)[ ∫[a,b]∫[a,b] f²(x)g²(y) dxdy + ∫[a,b]∫[a,b] f²(y)g²(x) dxdy ]
=∫[a,b]∫[a,b] (1/2)[f²(x)g²(y)+f²(y)g²(x)] dxdy
平均值不等式
≥∫[a,b]∫[a,b] [f(x)g(y)f(y)g(x)] dxdy
=∫[a,b] f(x)g(x) dx∫[a,b] f(y)g(y) dy
再將后一個積分變量換回x
=[∫[a,b] f(x)g(x) dx]²
=左邊

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