連接B1C交BC1于E,連接B1A交A1B于F,連接EF,
由中位線定理知EF//A1C1,( 0* )
而A1C1垂直于B1D1,.(1*)
又BB1垂直于平面A1B1C1D1,
故BB1垂直于A1C1.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直線) (2*)
故由(1*),(2*) A1C1垂直平面BB1D1D (3*)
(垂直于平面上的兩相交直線,就垂直于這平面)
由 (0*) 知EF垂直于平面BB1D1D.
EF在平面AB1C上,
故平面AB1C垂直于平面BB1D1D.(若一平面過另一平面的一條垂線,則這兩平面互相垂直).
(2) 連接AC交BD于G,知AC垂直于BD.又知AC//A1C1,
由(3*)知AC垂直于平面BB1D1D.從而AG垂直于GB1,G為A點(diǎn)在平面BB1D1D上的投影.
從而角AB1G= 直線AB1與B1D1BD所成的角.
在三角形AB1G中:AB1= 根號2,GB1 = 根號(3/2),
cos角AB1G = (根號3)/2,角AB1G = 30度,
即直線AB1與B1D1BD所成的角為30度.