證：
用反證法.假設數(shù)列{bn}中存在三項bk,bm,bp (k≠m≠p)成等差數(shù)列,則
2bm=bk+bp
bn=(1/4)×(2/3)^(n-1),隨n增大,(2/3)^(n-1)減小,bn減小,數(shù)列為遞減數(shù)列,要三項成等差數(shù)列,則m在k與p之間,不妨令k2×(1/4)×(2/3)^(m-1) =(1/4)×(2/3)^(k-1) +(1/4)×(2/3)^(p-1)
整理,得
2×(2/3)^m=(2/3)^k +(2/3)^p
等式兩邊同乘以3^p/2^k
2×2^(m-k)×3^(p-m)=3^(p-k)+2^(p-k)
等式左邊包含因子2,因此等式左邊為偶數(shù),右邊3^(p-k)恒為奇數(shù),2^(p-k)為偶數(shù),3^(p-k)+2^(p-k)為奇數(shù),偶數(shù)≠奇數(shù),等式不成立,即找不到滿足題意的k、m、p,假設錯誤.
數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列.