（1）設雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b>0）
由離心率e=

3

，焦距為2

3

，則c=

3

，a=1，b²=c²-a²=2，
則雙曲線方程為：x²-

y2

2

=1；
（2）假設存在過點P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點，
且點P是線段AB的中點．
設過P（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），
A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
相減可得，2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由P為AB的中點，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k=

y1-y2

x1-x2

=2，
即有直線AB的方程：y-1=2（x-1），即有y=2x-1，
代入雙曲線方程2x²-y²=2，可得，2x²-4x+3=0，
檢驗判別式為16-24<0，方程無解．
故不存在過點P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點，
且點P是線段AB的中點．