設(shè)g(x)=3f'(x)+2f(x),顯然g(x)在[a,b]連續(xù)；①如果f(x)=c(c為常數(shù)),則f'(x)=0,f(x)=c=f(b)=0,所以g(x)=0,即對(duì)任意k∈(a,b),均滿足3f'(k)+2f(k)=0；②如果f(x)≠c,則根據(jù)洛爾定理,至少存在一點(diǎn)x0∈(a,b),滿足f'(x0)=0,不妨設(shè)x0是所有滿足f'(x)=0[x∈(a,b)]最靠近b點(diǎn)的一點(diǎn),所以在區(qū)間(x0,b),f'(x)不變號(hào)[否則存在x1∈(x0,b),滿足f'(x1)=0,這和x0最靠近b點(diǎn)的假定矛盾!],即在區(qū)間(x0,b),f'(x)＞0和f'(x)＜0二者必居其一；所以在區(qū)間(x0,b),f(x)嚴(yán)格單調(diào)；又因f(b)=0,所以在區(qū)間(x0,b),f(x)≠0；另外f'(x)可以表示成如下形式:f'(x)=f(x)/(x-x'),式中x'為f(x)在x處的切線和x軸的交點(diǎn),所以g(x)可表示成如下形式:g(x)=3f'(x)+2f(x)=3f(x)/(x-x)+2f(x)=f(x)[3/(x-x')+2],令g(x)=0,即f(x)[3/(x-x')+2]=0,因在區(qū)間(x0,b),f(x)≠0,所以3/(x-x')+2=0,即x-x'=-3/2,所以本題等效為在區(qū)間(x0,b)尋找該式的解；顯然當(dāng)x∈(x0,b)時(shí),x-x'∈(-∞,0),所以在區(qū)間(x0,b)必有一點(diǎn)k,滿足k-k'=-3/2；因此存在k∈(x0,b),即k∈(a,b),使得3f'(k)+f(k)=0(證畢).