考察方程 (E-AB)x = 0,x是m維向量,設(shè)這方程的解空間V的維數(shù)是k,則k=m-R(E-AB).
設(shè)x是這方程的解,則ABx=Ex=x.這時(shí)BA(Bx)=B(ABx)=B(x)=(Bx),記y=Bx,有BA(y)=y,即
y是方程(E-BA)y = 0的解.記W是這方程的解空間.
任意y屬于W,有BAy=y,記x=Ay,則Bx=y且AB(x)=A(Bx)=A(y)=x,即x屬于V.
即B:V->W是V到W的滿同態(tài),同樣A:W->V是W到V的滿同態(tài),故V和W同構(gòu).故其維數(shù)相等.
所以 m - R(E-AB) = n - R(E-BA)
A是m*n矩陣,B是n*m矩陣,證明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中
A是m*n矩陣,B是n*m矩陣,證明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中
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