首先,用定義證明Cauchy序列一定有界,然后就可以設(shè){Xn}包含于閉區(qū)間[a,b].
假定結(jié)論不成立,那么[a,b]中任何一點(diǎn)u都不是{Xn}的極限,
若u的任何鄰域都包含{Xn}的無限項(xiàng),用Cauchy序列的定義可以證明u就是{Xn}的極限,矛盾.所以一定存在u的鄰域(u-t,u+t)使其只包含{Xn}的有限項(xiàng).將u取遍[a,b]就得到[a,b]的一個(gè)開覆蓋,必有有限子覆蓋,這樣[a,b]只包含{Xn}的有限項(xiàng),矛盾.
如何用有限覆蓋定理證明柯西定理
如何用有限覆蓋定理證明柯西定理
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