（1）證明：∵?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；                                
（2）證明：設(shè)?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
又∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)                             
（3）解∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上也是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（4），最小值為f（-4）
∵f（2）=6
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）=12，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-4）=-f（4）=-12，
故函數(shù)f（x）的最大值為12，最小值為-12．