(1)設(shè)橢圓為x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0),雙曲線為x²/m²-y²/n²=1 (m>0,n>0),拋物線為y²=2px
將點(diǎn)M(1,2)代入拋物線方程得到p=2
于是拋物線為y²=4x,焦點(diǎn)為F1(1,0)
則橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)為F1(1,0)、F2(-1,0),所以
a²-b²=1 …………①
m²+n²=1 …………②
將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程得1²/a²+2²/b²=1,整理得
1/a²+4/b²=1 …………③
將點(diǎn)M(1,2)代入雙曲線方程得1²/m²-2²/n²=1,整理得
1/m²-4/n²=1 …………④
①②③④聯(lián)立解得
a²=3+2√2,b²=2+2√2,m²=3-2√2,n²=2√2-2
所以
橢圓方程為x²/(3+2√2) +y²/(2+2√2)=1
雙曲線方程為x²/(3-2√2) -y²/(2√2-2)=1
拋物線方程為y²=4x
(2)樓主的題目一定有誤,直徑應(yīng)為AB而不是AP,否則題目沒法做.
假設(shè)存在直線N：x=xo,因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)P(3,0),所以可設(shè)AB的直線方程為x=uy+3
再設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),將直線AB與拋物線y²=4x聯(lián)立消x得
y²-4uy-12=0
由韋達(dá)定理有
y1+y2=4u
y1y2= -12
則(2*半徑) ²= (x1-x2)²+(y1-y2)²
弦心距=|(x1+x2)/2-xo|
在由圓心、弦中點(diǎn)、弦的某一端點(diǎn),三點(diǎn)組成的直角三角形中,由勾股定理有
(弦長(zhǎng)/2)²=半徑² -弦心距²,代入數(shù)值得
弦長(zhǎng)²= (x1-x2)²+(y1-y2)² -4*[(x1+x2)/2-xo]²
= [(uy1+3)- (uy2+3)]²+(y1-y2)² -4*[(uy1+3+uy2+3)/2-xo]²
= [u(y1-y2)]²+(y1-y2)² -4*[(uy1+uy2+6)/2-xo]²
= (u²+1)(y1-y2)² -[u(y1+y2)+6-2xo]²
= (u²+1)[(y1+y2)² -4y1y2]-[u(y1+y2)+6-2xo]²
= (u²+1)[(4u)² -4*(-12)]-[u(4u)+6-2xo]²
= (u²+1)(16u² +48)-(4u²+6-2xo)²
= 16(1+xo)u²-4xo²+24xo+12
要使弦長(zhǎng)為定值,就是使弦長(zhǎng)與u無關(guān),所以u(píng)的系數(shù)16(1+xo)為0
令16(1+xo)=0,得xo= -1
所以存在直線N：x= -1,滿足題設(shè)的條件.