設(shè)A的特征值為λ1,λ2,...,λn,若A是正規(guī)矩陣,則存在酉矩陣U,使得
A=U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U,其中diag(λ1,λ2,...,λn)是對角線為λ1,λ2,...,λn的對角矩陣.又特征值的模為1,設(shè)λ1,λ2,...,λn的共軛分別為λ`1,λ`2,...,λ`n,故有
λ1λ`1=λ2λ`2=...=λnλ`n=1,且A^H=U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U,
所以(A^H)A=(U^H diag(λ`1,λ`2,...,λ`n) U)(U^H diag(λ1,λ2,...,λn) U)
=U^H diag(λ1λ`1,λ2λ`2,...,λnλ`n) U=U^H I U=I,其中I為單位矩陣
所以A是酉矩陣
有疑問的地方請追問能不能給個正規(guī)陣一定能相似對角化的證明？schur三角化定理（這個知道的吧）：A酉相似與一個對角線為λ1，λ2，...，λn（A的特征值）的上三角矩陣R。故存在酉矩陣U，使得R=U^H A U，因A為正規(guī)矩陣，從而(R^H)R=(U^H A^H U)(U^H A U)=U^H A^H A U=U^H A A^H U=(U^H A U)(U^H A^H U)=R(R^H)，故R為正規(guī)矩陣比較(R^H)R和R(R^H)第i行第i列的元素，可知R為對角矩陣，且對角線為λ1，λ2，...，λn