1.100可以分解成2的平方和5的平方的乘積,所以與100可約的數(shù)都是2和5的倍數(shù),那么凡末位數(shù)為0、2、4、5、6、8的數(shù)都不與100互質(zhì),反過(guò)來(lái)就是末位數(shù)為1、3、7、9的數(shù)都與100互質(zhì).
(1+3+7+9)+ (11+13+17+19)+ (21+23+27+29)+……+(81+83+87+89)+ (91+93+97+99)
= 20+(10×4+20) +(20×4+20)+……+(80×4+20)+ (90×4+20)
=20×10+(10+20+……+80+90)×4
=200+1800
=2000
故1到100所有自然數(shù)中與100互質(zhì)的各數(shù)之和是2000 .
2.根據(jù)題目所知：168=質(zhì)數(shù)+質(zhì)數(shù).因?yàn)槠渲幸粋€(gè)質(zhì)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是1,所以另一個(gè)質(zhì)數(shù)的個(gè)位數(shù)字就應(yīng)該是7.
168=□1+□7
兩個(gè)質(zhì)數(shù)的十位上的數(shù)相加應(yīng)該等于16,符合題目要求的就只有16=9+7.
因此,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)就應(yīng)該是71和97.
3.21=3×7,26=2×13,65=5×13,99=3×3×11,10=2×5,35=5×7,18=2×3×3,77=7×11,在這8個(gè)數(shù)中所有質(zhì)因數(shù)為：2、3、5、7、11、13,要使每組中任意兩個(gè)數(shù)都互質(zhì),那么同一組數(shù)中的質(zhì)因數(shù)不能相同,要使分法最少,那么盡量使一組能包含以上6個(gè)質(zhì)因數(shù),分組如下：
（1）18=2×3×3,65=5×13,77=7×11
（2）26=2×13,35=5×7,99=3×3×11
（3）10=2×5,21=3×7
4.三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍,也就是說(shuō)這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是7的倍數(shù),那么必有一個(gè)為7,則可易得這三個(gè)質(zhì)數(shù)為3、5、7.
5.設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是d,這兩個(gè)數(shù)就為ad和bd.
由題意可得：ad+bd=（a+b）d=72,d+abd= (1+ab)d=216.
由此知：d必定是72的約數(shù),72的約數(shù)有：72,36,24,18,12,9,8,6,4,3,2,1
把它們代入到兩個(gè)算式中,只有d=6時(shí)有解,此時(shí)a,b分別是5和7.
所以這兩個(gè)自然數(shù)分別是5×6=30和7×6=42.
6.題中給出可整除的數(shù)有2、3、4、5、6、7、8、9共8個(gè),經(jīng)觀察：
能被8整除的數(shù)自然能被2和4整除；能被9整除的數(shù)自然能被3整除；能被8和9整除的數(shù)肯定能被6整除,所以我們只需要考慮5、7、8、9這四個(gè)數(shù).
⑴因?yàn)?993abc能被5整除,所以c=0或5,再由這個(gè)七位數(shù)肯定是偶數(shù)（能被2整除）,可知c=0.
⑵因?yàn)?993abc能被9整除,所以（1+9+9+3+a+b+0）÷9,即（22+a+b）÷9.22+5=27=3×9,22+14=36=4×9,那么a+b=5或14.（a+b不能超過(guò)18）
⑶因?yàn)?993abc能被8整除,所以ab0÷8可以考慮成ab÷4,4的倍數(shù)有32、60、88,這其中各個(gè)位上數(shù)字的和為5或14的只有32一個(gè),所以a和b可能是3和2.
⑷把a(bǔ)=3,b=2,c=0代入算式中,1993320÷7可以看成199332÷7,因?yàn)椋?32－199）÷7=19,所以1993320能被7整除.
根據(jù)以上分析可知,這個(gè)七位數(shù)的后三位數(shù)依次是3、2、0.
7.設(shè)8個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)為a,那么最小的一個(gè)為(a－7),8個(gè)數(shù)的和為4[a+(a－7)] = 4(2a－7),于是2a－7是99的倍數(shù),最小為99,從而a最小為53.
7.設(shè)8個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)為a,那么最小的一個(gè)為(a－7),8個(gè)數(shù)的和為4[a+(a－7)] = 4(2a－7),于是2a－7是99的倍數(shù),最小為99,從而a最小為53.
8.（構(gòu)造法）取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這10個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)為27720,將27720分別加上2、3、4、5、6、7、8、9、10、11便得到10個(gè)連續(xù)的數(shù)；27720+2肯定是2的倍數(shù),27720+3肯定是3的倍數(shù),……,27720+11也肯定是11的倍數(shù),所以它們是10個(gè)連續(xù)自然數(shù)且都為合數(shù).
利用這種方法可以構(gòu)造出任意多個(gè)連續(xù)的合數(shù).
9.因?yàn)?!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=6×4=24,5!=24×5=120,6!=120×6=720,7!=720×7=5040,8!=5040×8=40320,9!=362880,10!=3628800……
所以從第10項(xiàng)10!開(kāi)始,后面各項(xiàng)的后兩位數(shù)字都是“00”,所以只需計(jì)算前9項(xiàng)的后兩位數(shù)之和,也就是1+2+6+24+20+20+40+20+80=213,最后兩個(gè)位數(shù)應(yīng)該是13.
10.某個(gè)燈泡,如果它的亮暗變化的次數(shù)是奇數(shù),那么它是明亮的.根據(jù)題意可知,號(hào)碼為K的燈泡,亮暗變化的次數(shù)等于K的約數(shù)的個(gè)數(shù),若K的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),則K一定是平方數(shù).所以第200秒時(shí),那些編號(hào)是平方數(shù)的燈泡是明亮的.因?yàn)?00以?xún)?nèi)有14個(gè)平方數(shù),所以第200秒時(shí)明亮的燈泡有14個(gè).