在矩形中,長寬以及對角線都是整數(shù)意味著,在由長（a）寬（b）和對角線（c）構(gòu)成的直角三角形中,a^2+b^2=c^2且a,b,c均為正整數(shù)
所以a,b,c滿足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均為正整數(shù)）
所以矩形面積為S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余數(shù)相同,即m≡n(mod 3),則m-n必能被3整除,又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一個是偶數(shù),所以S能被12整除；（包含余數(shù)對為<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分別除以3后,余數(shù)之和為3或0,則(m+n)必能被3整除,又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一個是偶數(shù),所以S能被12整除；（包含余數(shù)對為<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有一個除以3余0,則m和n中有一個必能被3整除,又因為m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一個是偶數(shù),所以S能被12整除；（包含余數(shù)有一個為0的所有情況）
上面三種情況包含了所有余數(shù)的情況
綜上所述,S總能被12整除,所以這個矩形的面積必為12的倍數(shù)