已知直線x+2y+m=0（m∈R）與拋物線C：y2=x相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）在拋物線C上是否存在一點(diǎn)P，對(duì)（1）中任意m的值，都有直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求

已知直線x+2y+m=0（m∈R）與拋物線C：y²=x相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）在拋物線C上是否存在一點(diǎn)P，對(duì)（1）中任意m的值，都有直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

數(shù)學(xué)人氣：688 ℃時(shí)間：2020-10-01 14:35:56

優(yōu)質(zhì)解答

（1）聯(lián)立直線x+2y+m=0（m∈R）和拋物線C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，
∵直線x+2y+m=0（m∈R）與拋物線C：y²=x相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
∴判別式△=4-4m＞0，∴m＜1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍{m|m＜1}．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
kpA＝

y1?y0

x1?x0

，
kPB＝

y2?y0

x2?x0

y1?y0

x1?x0

y2?y0

x2?x0

＝0，
∴y₁²=x₁，y₂²=x₂，y₀²=x₀

y1+y0

y2+y0

=0，∴-2y₀=y₁+y₂
由（1）得：y₀=1
y₀=x₀=1
所以存在P（1，1），使得對(duì)（1）中任意的m的值，都有直線PA與PB的斜率互為相反數(shù)．

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