證明:因?yàn)锳的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)
所以 α1,α2 線性無(wú)關(guān)
又 A(α1+α2) = Aα1+Aα2 = λ1α1+λ2α2
故 α1,A(α1+α2) 線性無(wú)關(guān)充要條件是行列式
1 0
λ1 λ2
不等于0.
即 λ2 ≠ 0.給你一個(gè)好接受的證明方法吧設(shè) k1α1+k2(λ1α1+λ2α2) = 0(*)則 α1，A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)充要條件是 k1,k2 只能為0.(*)式改寫為 (k1+k2λ1)α1 +k2λ2α2 =0因?yàn)?α1,α2 無(wú)關(guān)所以 k1+k2λ1 = 0 k2λ2 = 0將k1,k2 看作未知量. 則上齊次線性方程組只有零解的充要條件是系數(shù)行列式≠ 0.而系數(shù)行列式 = 1λ10λ2= λ2(注: 這個(gè)行列式就是上一個(gè)解法的行列式的轉(zhuǎn)置)故 α1，A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)充要條件是 λ2≠ 0.