點(diǎn) M 應(yīng)在 B 附近,點(diǎn) N 應(yīng)在 C 附近,BM^2 + CN^2 = MN^2 才可能成立.
證明：用“翻折法”.
沿著 AM 將 △ABM 翻折,AB 的位置變?yōu)?AE,B 的位置變?yōu)?E,則
△ABM≌△AEM；∠BAM =∠EAM ,∠MEA = 45度,EM = BM；--------------(1)
再沿著 AN 將 △ACN 翻折,AC 的位置變?yōu)?AF,C 的位置變?yōu)?E',則
△ACN≌△AE'N；∠CAN =∠E'AN ,∠NE'A = 45度,E'N = CN；----------(2)
因?yàn)椤螹AN = 45度,故 ∠BAM + ∠CAN = 45度,即有∠EAM + ∠E'AN = 45度,所以 E、E' 重合(于 E 點(diǎn))!于是∠MEN = ∠MEA +∠NEA = 90度,再由勾股定理及(1)(2)的結(jié)論得EM^2 + EN^2 = MN^2,即有 BM^2 + CN^2 = MN^2.
注：用到(2)的結(jié)論時,E' 換成 E.