已知3階實對稱矩陣A每一行的和均為3,且其特征值均為正整數(shù),|A|=3,求矩陣A

數(shù)學(xué)人氣：256 ℃時間：2020-09-26 05:02:20

優(yōu)質(zhì)解答

因為3階實對稱矩陣A每一行的和均為3
所以3是A的一個特征值,(1,1,1)'是A的屬于特征值3的特征向量
又因為|A|=3 是A的所有特征值的乘積
而A的特征值均為正整數(shù)
所以A的特征值為3,1,1.
由實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交
記 (x1,x2,x3)'是A的屬于特征值1的特征向量
則 x1+x2+x3=0
(1,-1,0)',(1,1,-2)' 是其一個正交的基礎(chǔ)解系
單位化得 α1=(1/√3)(1,1,1)',α2=(1/√2)(1,-1,0)',α3=(1/√6)(1,1,-2)'
令P=(α1,α2,α3),則 P^-1AP = diag(3,1,1)
A=Pdiag(3,1,1)P^-1 = Pdiag(3,1,1)P' =
5/3 2/3 2/3
2/3 5/3 2/3
2/3 2/3 5/3