為了記號(hào)簡(jiǎn)便,用α'表示α的轉(zhuǎn)置.
向量α可視為1×n矩陣,而α'是n×1矩陣.
由矩陣乘法的結(jié)合律,有A² = (α'α)(α'α) = α'(αα')α.
而α‘α是1×1矩陣,也就是一個(gè)常數(shù),設(shè)b = αα'.
則A² = α'(αα')α = bα'α = bA.
由此不難得到,對(duì)任意正整數(shù)k,成立A^k = b^(k-1)·A.
由α ≠ 0,有r(α) = 1,故線性方程組αX = 0的基礎(chǔ)解系有n-1個(gè)向量.
易見它們都滿足AX = α'αX = 0,即為A的屬于特征值0的特征向量.
另一方面,Aα' = (α'α)α' = α'(αα') = bα',故α'(≠ 0)為A的屬于特征值b的特征向量.
且由b = a1²+a2²+...+an² ≠ 0,α'與屬于特征值0的特征向量線性無關(guān).
于是由αX = 0的基礎(chǔ)解系和α'為列向量組成的矩陣P可逆,并使得P^(-1)AP為對(duì)角陣.
根據(jù)上述結(jié)果,A的全部特征值為0 (n-1重)和b.
因此A的特征多項(xiàng)式|λE-A| = (λ-b)λ^(n-1).沒錯(cuò)啊, b = ∑ai², 所以(λ-b)λ^(n-1) = λ^n-bλ^(n-1) = λ^n-λ^(n-1)∑ai².拆成多個(gè)行列式相加應(yīng)該也能做, 就是把各列的λ拆出來.要點(diǎn)是如果有兩列不含λ, 則這兩列線性相關(guān).所以n-2次及以下的系數(shù)為0, 而n-1次系數(shù)直接用完全展開式就能看出來.