證明：考慮函數(shù)f(x)=ln(1+1/x)-1/(2x+1),x>0.顯然當(dāng)x->+∞時,f(x)=0.
而f'(x)=-1/[n*(n+1)]+2/[(2n+1)^2]=1/(2n^2+2n+1/2)-1/(n^2+n)=-(n^2+n+1/2)/[(2n^2+2n+1/2)*(n^2+n)]=-[(n+1/2)^2+1/4]/[(2n^2+2n+1/2)*(n^2+n)]0時為單調(diào)遞減函數(shù),則必有x>0時f(x)=ln(1+1/x)-1/(2x+1)>0,于是有l(wèi)n(1+1/x)>1/(2x+1),也即當(dāng)x>0時,有
ln(x+1)-lnx>1/(2x+1)成立.于是
ln2-ln1>1/3
ln3-ln2>1/5
ln4-ln3>1/7
……
lnn-ln(n-1)>1/(2n-1)
ln(n+1)-lnn>1/(2n+1)
前述不等式左右兩邊分別相加,便得
ln(n+1)>1/3+1/5+1/7+…+1/(2n +1)