（1）定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）=0，解得x=e，
當(dāng)f′（x）＞0，解得0＜x＜e，
當(dāng)f′（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
（2）∵不等式lnx＜mx對(duì)一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴m＞

lnx

x

，對(duì)一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f（x）=

lnx

x

 在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)2a≤e時(shí)，即0＜a≤

e

2

時(shí)，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（2a）=

ln2a

2a

；
當(dāng)a≥e時(shí)，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（2a）=

lna

a

；
當(dāng)a＜e＜2a時(shí)，即

e

2

＜a＜e時(shí)，f（x）在[a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，2a]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（e）=

1

e

．
綜上得：
當(dāng)0＜a≤

e

2

時(shí)，m＞

ln2a

2a

；
當(dāng)a≥e時(shí)，m＞

lna

a

；
當(dāng)

e

2

＜a＜e時(shí)，m＞

1

e

．