已知函數(shù)f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲線y=f(x)在點(diǎn)（1,f（1））處切線方程為x+2y-3=0
如果當(dāng)x＞0,且x≠1時(shí),f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范圍.
老師給的正確答案是:
由題意f（1）=1,即切點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1）
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直線x+2y-3=0的斜率為-1/2 ,且過點(diǎn)（1,1）,故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1,b=1
求得f(x)=lnx /x+1 +1/ x ,所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）
考慮函數(shù)h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0）,則
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
（i）設(shè)k≤0,由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知,當(dāng)x≠1時(shí),h′（x）＜0．而h（1）=0,故
當(dāng)x∈（0,1）時(shí),h′（x）＜0,可得1 /1-x2 h(x)＞0；
當(dāng)x∈（1,+∞）時(shí),h′（x）＜0,可得1 /1-x2 h（x）＞0
從而當(dāng)x＞0,且x≠1時(shí),f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0,即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．
（ii）設(shè)0＜k＜1．由于當(dāng)x∈（1,1 /1-k ）時(shí),（k-1）（x2+1）+2x＞0,故h′（x）＞0,而
h（1）=0,故當(dāng)x∈（1,1 /1-k ）時(shí),h（x）＞0,可得1 /1-x^ h（x）＜0,與題設(shè)矛盾．
（iii）設(shè)k≥1．此時(shí)h′（x）＞0,而h（1）=0,故當(dāng)x∈（1,+∞）時(shí),h（x）＞0,可得1 /1-x^ h（x）＜0,與題設(shè)矛盾．
綜合得,k的取值范圍為（-∞,0]
我的疑問是：
為什么k要分這三類呢?還有寫x的區(qū)間的時(shí)候,1 /1-k 怎么來的?