黎曼幾何以歐幾里得幾何和種種非歐幾何作為其特例.例如：定義度量（a是常數(shù)）,則當a＝0時是普通的歐幾里得幾何,當a＞0時 ,就是橢圓幾何 ,而當a＜0時為雙曲幾何（羅巴切夫斯基幾何）.
黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體,而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體.他首先發(fā)展了空間的概念,提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量 ,空間中的點可用n個實數(shù)（x1,……,xn）作為坐標來描述.這是現(xiàn)代n維微分流形的原始形式,為用抽象空間描述自然現(xiàn)象奠定了基礎.這種空間上的幾何學應基于無限鄰近兩點（x1,x2,……xn）與（x1＋dx1,……xn＋dxn）之間的距離,用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量.亦即 （gij）是由函數(shù)構成的正定對稱矩陣.這便是黎曼度量.
黎曼認識到度量只是加到流形上的一種結構,并且在同一流形上可以有許多不同的度量.黎曼以前的數(shù)學家僅知道三維歐幾里得空間E3中的曲面S上存在誘導度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2,即第一基本形式,而并未認識到S還可以有獨立于三維歐幾里得幾何賦予的度量結構.黎曼意識到區(qū)分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性,從而擺脫了經典微分幾何曲面論中局限于誘導度量的束縛,創(chuàng)立了黎曼幾何學.