已知函數(shù)f(x)=x^2+2x,若k是奇數(shù),求證：方程f(x)=2k沒(méi)有理想根

數(shù)學(xué)人氣：927 ℃時(shí)間：2020-05-12 06:06:59

優(yōu)質(zhì)解答

用反證法
先假設(shè)有有理根為m/n,（其中m,n互為質(zhì)數(shù)）
則(m/n)^2+2m/n=2k
所以m^2+2mn-2kn^2=0
即m^2=2kn^2-2mn,則m是偶數(shù),
設(shè)m=2p,則kn^2=2p^2+2pn,所以kn^2是偶數(shù),
又因?yàn)閗是奇數(shù),奇數(shù)與偶數(shù)相乘才為偶數(shù)所以n為偶數(shù),
此時(shí)m和n的最大公約數(shù)就不是1了,這與假設(shè)m,n互為質(zhì)數(shù)相矛盾,
所以方程f(x)=2k沒(méi)有有理根