(1)
顯然,x＝0時(shí),原不等式取等號(hào).
當(dāng)x>0時(shí),構(gòu)造函數(shù)f(t)＝t-arctant,
則f'(t)＝1-1/(1+t^2)＝t^2/(1+t^2)>0.
∴f(t)為單調(diào)遞增函數(shù),即x>0時(shí),
∴f(x)>f(0)＝0-arctan0＝0
即x-arctanx>0,
∴arctanx0時(shí),構(gòu)造函數(shù)f(t)＝ln(1+t)-t/(1+t),
則f'(t)＝1/(1+t)-(1+t-t)/(1+t)^2＝t/(1+t)^2>0.
∴f(t)在t>0時(shí)單調(diào)遞增,
即x>0時(shí),f(x)>f(0)＝ln(1+0)-0/(1+0)＝0.
∴l(xiāng)n(1+x)-x/(1+x)>0
從而,x>0時(shí),有l(wèi)n(1+x)>x/(1+x).謝謝啊👍👍👍還有構(gòu)造函數(shù)來(lái)著！我才想起來(lái)☺！真的是太感謝了😊！