（2x^3+3x*y^2+x)dx+[-(3x^2*y+2y^3-y)]dy=0
看高數(shù)書(shū)5版283頁(yè) 公式就出來(lái)了
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若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),則稱(chēng)Pdx+Qdy=0為全微分方程,顯然,這時(shí)該方程通解為u(x,y)=C(C是任意常數(shù)).
根據(jù)二元函數(shù)的全微分求積定理:設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一單連通域,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分的充要條件是P'(y)=Q'(x),在G內(nèi)恒成立.
例：判斷方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程,并求其通解
（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,
P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,
δP/δy=12xy=δQ/δx,
所以這是全微分方程,
u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy
=x^3+3x^2y^2+y^4,
x^3+3x^2y^2+y^4=C.