面積微分元是何物?
“經(jīng)線和赤道把球面分成許多個(gè)小三角形”這里有問題,一旦分得很細(xì)的時(shí)候,三角形萎縮成線,那么面積微元 dS = 2πR*Rdθ,積分區(qū)間為(0,π) 則 S = 2(πR)^2,看上去很合理,其實(shí)只要注意到“兩極地區(qū)”被無(wú)數(shù)次夸大——相當(dāng)于使用很細(xì)的圓環(huán)構(gòu)造球形,兩級(jí)地區(qū)重疊多次,并不是球的面積了.
關(guān)鍵：積分不能有重疊計(jì)算.
.補(bǔ)充.
你得到的結(jié)果是半個(gè)球體.如果是使用三角形面積公式得到面積微分元dS,那么就存在一個(gè)問題：球面空間三角形面積公式不是平直空間那個(gè)二分之一底乘高了.
常見計(jì)算方法：
取“緯度線”累積處理,每個(gè)“緯度線”面積微元dS = 2πRcosθ*Rdθ,積分區(qū)間θ = (-π,+π).
S = 2πR^2*sinθ|(-π,+π) = 4πR^2