如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=a．（1）求證：AD⊥B1D；（2）求證：A1C∥平面AB1D；（3）求點A1到平面AB1D的距離．

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=a．

（1）求證：AD⊥B₁D；
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求點A₁到平面AB₁D的距離．

數(shù)學(xué)人氣：299 ℃時間：2019-10-10 14:39:22

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱錐，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中點，∴AD⊥BD．BB₁∩BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D，∴AD⊥B₁D．（4分）
（2）連接DE．AA₁=AB，四邊形A₁ABB₁是正方向，∴E是A₁B的中點，又D是BC的中點，
∴DE∥A₁C，∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（8分）
（3）VA1?AB1D＝VB1?A1AD，所以

a?d＝

a?a?

，
解得d＝

a．（12分）

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如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=a． （1）求證：AD⊥B1D； （2）求證：A1C∥平面AB1D； （3）求點A1到平面AB1D的距離．

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如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=a．（1）求證：AD⊥B1D；（2）求證：A1C∥平面AB1D；（3）求點A1到平面AB1D的距離．