把數(shù)分解成平方數(shù)（包括0^2=0）的和的問題是在十八十九世紀(jì)由歐拉,拉格朗日,高斯等人解決的,結(jié)論是：
1.一個自然數(shù)可以表示成兩個平方數(shù)的和當(dāng)且僅當(dāng)它做素數(shù)分解后所有形如(4k+3)的素數(shù)出現(xiàn)次數(shù)為偶數(shù)；
2.一個自然數(shù)可以表示成三個平方數(shù)的和當(dāng)且僅當(dāng)它分解為(2^k)m,m為奇數(shù)后滿足k為奇數(shù),或m被8除的余數(shù)不等于7；
3.所有自然數(shù)都可以表示成四個平方數(shù)的和.
你的猜想基本上是1的特殊情況,只要再說明形如(4k+1)的素數(shù)的乘積不但可以表示成兩個平方數(shù)的和,而且可以進一步表示成兩個非零平方數(shù)的和.
1可以用環(huán)論證明,一般數(shù)學(xué)系大二的抽象代數(shù)/近世代數(shù)教材中會有；2可以用局部-整體原則證明,一般數(shù)學(xué)系大四或研一的數(shù)論教材中會有（例如Serre的A course in arithmetic第45頁）；3最容易,只需要用到初等數(shù)論中的二次剩余,可以在網(wǎng)上找到（搜索"四平方和定理"）