這題是可以通過分析想象出圖形的,平面x+y+z=a很好想象,關(guān)鍵是曲面az=a^2-x^2-y^2,首先考慮用平行于xoy的平面截曲面所得的圖形,這時z是常數(shù),因此截面x^2+y^2=a^2-az是圓,再考慮曲面在yoz平面上的投影,這時x=0,因此投影為y^2=a^2-az為開口向下的拋物線,綜合兩點就可以想象出這個曲面是一個倒立的拋物面（注意雖然這曲面和x,y,z軸的交點都是a,但這不是球面!考察在交點處的曲率就會發(fā)現(xiàn)它們是不同的）.現(xiàn)在所求體積就等于拋物面在第一卦限的體積減去錐體的體積,錐體體積=a^3/6,現(xiàn)在用三重積分求拋物面所圍體積,用“先二后一”的方法,該體積=(1/4)∫dz∫∫dxdy,z積分限為0到a,而∫∫dxdy就等于拋物面被平行于xoy的平面截得的面積（注意所得結(jié)果是含有z的）.由x^2+y^2=a^2-az知∫∫dxdy=π(a^2-az),積分得這部分體積=πa^3/8,因此所求體積=(π/8-1/6)a^3