方法如下,關(guān)鍵是編號(hào)處理：
由于不知道異常球到底是輕是重,因此不論怎么分起來(lái)稱,都會(huì)有三種不同的結(jié)果,即左邊的重量重于、輕于或者等于右邊的重量,為了做到 稱三次就能把這個(gè)不合格的乒乓球找出來(lái),必須把球分成三組(各為四只球).現(xiàn)在,我們?yōu)榱私忸}的方便,把這三組乒乓球分別編號(hào)為 A組、B組、C組.
首先,選任意的兩組球放在天平上稱.例如,我們把A、B兩組放在天平上稱.這就會(huì)出現(xiàn)兩種情況:
第一種情況,天平兩邊平衡.那么,不合格的壞球必在c組之中.
其次,從c組中任意取出兩個(gè)球 (例如C1、C2)來(lái),分別放在左右兩個(gè)盤上,稱第二次.這時(shí),又可能出現(xiàn)兩種情況:
1·天平兩邊平衡.這樣,壞球必在C3、C4中.這是因?yàn)?在12個(gè)乒乓球中,只有一個(gè)是不合格的壞球.只有C1、C2中有一個(gè)是壞球時(shí),天平兩邊才不平衡.既然天平兩邊平衡了,可見,C1、C2都是合格的好球.
稱第三次的時(shí)候,可以從C3、C4中任意取出一個(gè)球(例如C3), 同另一個(gè)合格的好球(例如C1)分別放在天平的兩邊,就可以推出結(jié)果.這時(shí)候可能有兩種結(jié)果:如果天平兩邊平衡,那么,壞球必是C4;如果天平兩邊不平衡,那么,壞球必是C3.
2·天平兩邊不平衡.這樣,壞球必在C1、C2中.這是因?yàn)?只有C1、C2中有一個(gè)是壞球時(shí),天平兩邊才不能平衡.這是稱第二次.
稱第三次的時(shí)候,可以從C1、C2中任意取出一個(gè)球(例如C1), 同另外一個(gè)合格的好球(例如C3),分別放在天平的兩邊,就可以推出結(jié)果.道理同上.
以上是第一次稱之后出現(xiàn)第一種情況的分析.
第二種情況,第一次稱過(guò)后天平兩邊不平衡.這說(shuō)明,c組肯定都是合格的好球,而不合格的壞球必在A組或B組之中.
我們假設(shè):A組 (有A1、A2、A3、A4四球)重,B組(有B1、B2、B3、B4四球)輕.這時(shí)候,需要將重盤中的A1取出放在一旁,將A2、A3取出放在輕盤中,A4仍留在重盤中.同時(shí),再將輕盤中的B1、 B4取出放在一旁,將B2取出放在重盤中,B3仍留在輕盤中,另取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球C1也放在重盤中.經(jīng)過(guò)這樣的交換之后,每盤中各有三個(gè)球: 原來(lái)的重盤中,現(xiàn)在放的是A4、B2、C1,原來(lái)的輕盤中,現(xiàn)在放的是A2、A3、B3.
這時(shí),可以稱第二次了.這次稱后可能出現(xiàn)的是三種情況:
1·天平兩邊平衡.這說(shuō)明A4B2C1=A2A3B3,亦即說(shuō)明,這六只是好球,這樣,壞球必在盤外的A1或B1或B4之中.已知A盤重于B盤.所以,A1或是好球,或是重于好球;而B1、B4或是好球,或是輕于好球.
這時(shí)候,可以把B1、B4各放在天平的一端,稱第三次.這時(shí)也可能出現(xiàn)三種情況:(一)如果天平兩邊平衡,可推知A1是不合格的壞球,這是因?yàn)?2只球只有一只壞球,既然B1和B4重量相同,可見這兩只球是好球,而A1為壞球;(二)B1比B4輕,則B1是壞球;(三) B4比B1輕,則B4是壞球,這是因?yàn)锽1和B4或是好球,或是輕于好球,所以第三次稱實(shí)則是在兩個(gè)輕球中比一比哪一個(gè)更輕,更輕的必是壞 球.
2·放著A4、B2、C1的盤子(原來(lái)放A組)比放A2、A3、B3的盤子(原來(lái)放B組)重.在這種情況下,則壞球必在未經(jīng)交換的A4或B3之中.這是因?yàn)橐呀粨Q的B2、A2、A3個(gè)球并未影響輕重,可見這三只球都是好球.
以上說(shuō)明A4或B3這其中有一個(gè)是壞球.這時(shí)候,只需要取A4或B3同標(biāo)準(zhǔn)球C1比較就行了.例如,取A4放在天平的一端,取C1放在天平的另一端.這時(shí)稱第三次.如果天平兩邊平衡,那么B3是壞球; 如果天平不平,那么A4就是壞球 (這時(shí)A4重于C1).
3.放A4、B2、C1的盤子(原來(lái)放A組)比放在A2、A3、B3的盤 子(原來(lái)放B組)輕.在這種情況下,壞球必在剛才交換過(guò)的A2、A3、B23球之中.這是因?yàn)?如果A2、A3、B2都是好球,那么壞球必在A4或B3之中,如果A4或B3是壞球,那么放A4、B2、C1的盤子一定 重于放A2、A3、B3的盤子,現(xiàn)在的情況恰好相反,所以,并不是A2、A3、B2都是好球.
以上說(shuō)明A2、A3、B2中有一個(gè)是壞球.這時(shí)候,只需將A2同A3相比,稱第三次,即推出哪一個(gè)是壞球.把A2和A3各放在天平的一端 稱第三次,可能出現(xiàn)三種情況:(一)天平兩邊乎衡,這可推知B2是壞球;(二)A2重于A3,可推知A2是壞球;(三)A3重于A2,可推知A3是壞球.
根據(jù)稱第一次之后,出現(xiàn)的A組與B組輕重不同的情況,我們剛才假設(shè)A組重于B組,并作了以上的分析,說(shuō)明在這種情況下如何推論哪一個(gè)球是壞球.如果我們現(xiàn)在假定出現(xiàn)的情況是A組輕于B組,其推理過(guò)程同上.