求過一點（1,-1）的曲線,使其上任意一點處的切線夾于兩坐標軸向的線段被切點平分

數(shù)學人氣：364 ℃時間：2020-01-27 22:45:37

優(yōu)質(zhì)解答

設該曲線的切點為(x,y),那么根據(jù)中點坐標公式,很容易求得切線與x軸,y軸的交點分別是(2x,0),
(0,2y),所以切線斜率為k=-y/x,由于曲線切線斜率k=dy/dx,所以可以得到微分方程為
dy/dx=-y/x,用微分法求解這個方程：
整理得xdy+ydx=0,即d(xy)=0,積分,得xy=C（C為任意常數(shù)）,由于曲線過(1,-1),把此點代入,可求出C=-1,所以這個曲線的方程為xy=-1,即y=-1/x