設(shè)圓的方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
截y軸所得弦長(zhǎng)為2,即令x=0,y的兩個(gè)根之差的絕對(duì)值為2.
也即y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0
由韋達(dá)定理得
y1+y2=2b
y1y2=a^2+b^2-r^2
于是有
2^2=4=|y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=(2b)^2-4(a^2+b^2-r^2)=4(r^2-a^2)
得r^2=a^2+1 ①
被X軸分成兩段弧 弧長(zhǎng)比為3：1,設(shè)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為M(x1,0)、N(x2,0),圓心P(a,b),則有
PM⊥PN,即△MPN為RT三角形.于是有
PM^2+PN^2=MN^2
(a-x1)^2+b^2+(a-x2)^2+b^2=(x2-x1)^2
化簡(jiǎn)得
x1x2-a(x1+x2)+a^2+b^2=0 ②
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,令y=0得
x^2-2ax+a^2+b^2-r^2=0
由韋達(dá)定理得
x1+x2=2a
x1x2=a^2+b^2-r^2
代入②式得
a^2+b^2-r^2-2a^2+a^2+b^2=0
得
r^2=2b^2 ③
結(jié)合①③可得
a^2=2b^2-1 ④
r^2=2b^2 ⑤
圓心P(a,b)到直線X-2Y=0距離為
d=|a-2b|/√[1^2+(-2)^2]=|a-2b|/√5
由④式可令
a=tanx
b=√2/2*secx
于是有
d=|a-2b|/√5
=|tanx-√2secx|/√5
=|(sinx-√2)/cosx|/√5
令(sinx-√2)/cosx=k
得
sinx-kcosx=√2=√(1+k^)sin(x+α)≤√(1+k^2)
得k^2≥1
于是有
d=|a-2b|/√5=|(sinx-√2)/cosx|/√5=|k|/√5≥1^2/√5=1/√5
此時(shí)有|a-2b|=1
也即a-2b=1或a-2b=-1 ⑥
聯(lián)立④⑤⑥可解得
a=1,b=1,r=√2
或
a=-1,b=-1,r=√2
于是圓的方程為
(x-1)^2+(y-1)^2=2
或
(x+1)^2+(y+1)^2=2